上中自招笔试数学

$7$ 作 $PQ$ 中点 $G$， $BC$ 中点 $H$，联结 $EJ$ ，作 $GI \perp AB$，$HK \perp AB$，设 $EK = a$，则 $KB = EK = a$， $JG = GQ = HB$。且易证 $G$ 为矩形 $AFCE$ 中点，则 $IJ = a$，得 $JE = \frac12-2a$。此时发现 $AJ = \frac{1}{2}$， $PJ = 1$，则 $\angle APJ = 30^\circ = \angle EJQ$。$\therefore EQ = \frac{1}{2}JQ = a$， $\frac{1}{2} - 2a = \sqrt{3}a$ 得 $a = \frac{2\sqrt{3}}{2}$，则 $PQ = \sqrt{6} - \sqrt{2}$。

$8$ 设 $a + b = \frac{n(n+2)}{2}$，则 $b + c - (a + c) = b - a = n + 2$。得 $a = \frac{(n-3)(n+2) + 2}{4}$， $b = \frac{(n+1)(n+2) + 2}{4}$。要使 $a, b$ 为整数， $n$ 最小取 4，此时 $a = 2$， $b = 8$， $c = 13$。检验可知满足题意， $a^2 + b^2 + c^2 = 237$。

$10(2)$ $x_1, x_2$ 分别是 $3x^2 + (2k+4)x + 3k=0$ 的解。令 $t = x + 1$，得 $3t^2 + (2k+2)t + k - 1 = 0$。则 $\frac1{t_1}+\frac1{t_2}=\frac{-\frac ba}{\frac ca}=-2$，即 $-1-\frac1{x_1+1}=\frac1{x_2+1}+1$，$-\frac{x_1+2}{x_1+1}=\frac{x_2+2}{x_2+1}$，$\frac{(x_1+2)(x_2+1)}{(x_2+2)(x_1+1)}=-1$

$11(2)$ 规定记号 $(a, b)\ (a<b)$ 表示边长为 $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{a+b}$ 的三角形。由 $(a, b)$ 构造的新三角形分别为 $(a, a+b)$ 和 $(b, a+b)$。因此，若给定一个三角形 $(a, b)$，则它的母三角形一定由 $a, b-a$ 组成，由此可知母三角形是可以唯一确定的。另外，易证$a$与$b$都是整数，由于 $\gcd(a, a+b) = \gcd(b, a+b) = \gcd(a, b)$，而显然 $\gcd(3, 5) = \gcd(4, 5) = 1$，可知所有三角形的$a$与$b$互素。若有两个三角形相似，则 $\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’}$， $\frac{a}{b} = \frac{a’}{b’}$，这两个分数都是最简分数，所以 $a = a’$， $b = b’$，两三角形全等。由此溯源可得所有母三角形全等，但这样两个三角形就是同一个，矛盾。