积分变换第一 · 傅里叶变换

傅里叶级数

​由于圆周运动的中心恒为原点，故下式成立：

\[\int_0^{nT}e^{i\omega t}dt=0\quad(\omega\ne0,\quad T=\frac{2\pi}{\omega})\tag1\]

设函数 f(t) 可表示成

\[f(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{ik\omega_0t}\] \[=\cdots+c_{-2}e^{-2i\omega_0t}+c_{-1}e^{-1i\omega_0t}+c_0e^{0i\omega_0t}+c_1e^{1i\omega_0t}+c_2e^{2i\omega_0t}+\cdots\]

上式两端同时乘以 $e^{-in\omega_0t}$ 得

\[f(t)e^{-in\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{i(k-n)\omega_0t}\] \[=\cdots+c_{n-2}e^{-2i\omega_0t}+c_{n-1}e^{-1i\omega_0t}+c_ne^{0i\omega_0t}+c_{n+1}e^{1i\omega_0t}+c_{n+2}e^{2i\omega_0t}+\cdots\]

在上式两端同时做 0 到 T 的定积分。根据(1)式有

\[\int_0^Tf(t)e^{-in\omega_0t}dt=\cdots+0+0+Tc_n+0+0+\cdots=Tc_n\]

故

\[c_n=\frac1T\int_0^Tf(t)e^{-in\omega_0t}dt\tag2\]

称数列 $c_n$ 为 $f(t)$ 的离散频谱。最终得到的级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{in\omega_0t}$ 称为 $f(t)$ 的傅里叶级数的指数形式。

\[f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{+\infty}2|c_n|\cos(n\omega_0t+\arg c_n)\tag3\]

(3)式是傅里叶级数的三角形式之一。其中 $| c_n| $ 记录了所有的振幅，称之为离散振幅谱； $\arg c_n$ 记录了所有的相位，称之为离散相位谱。

\[f(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0 t)\tag4\]

(4)式是傅里叶级数的另一种三角形式。

傅里叶变换

我们首先对函数 $f(t)$ 在区间 $\left[-\frac T2,\frac T2\right]$ 上展开为傅里叶级数得

\[f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_ne^{in\omega_0t},\quad c_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-in\omega_0t}dt\]

考虑让 $T\to+\infty$，这样就把 $(-\infty,+\infty)$ 上的函数 $f(t)$ 全部纳入了考虑范围。此时 $\omega_0=\frac{2\pi}{T}\to0$，$\omega_0$ 可视为相邻频率的周期函数的频率间隔 $(n+1)\omega_0-n\omega_0$，记 $\omega_0=\Delta \omega,\ n\omega_0=\omega$。那么

\[c_n=\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\omega t}dt\]

将上式 $c_n$ 代回到傅里叶级数中，得到

\[f(t)=\frac1{2\pi}\sum_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\omega t}dt\right)e^{i\omega t}\Delta \omega\]

取 $T\to+\infty$ 极限得到

\[f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\right)e^{i\omega t}d\omega\]

上式被称为傅里叶积分定理。

我们记

\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]

在确定 $f(t)$ 后，该函数只与给定的频率 $\omega$ 有关，它描述的是 $f(t)$ 中分量 $e^{i\omega t}$ 的分布密度。称该函数为 $f(t)$ 的频谱密度函数（简称为连续频谱或频谱）。

对任何一个函数 $f(t)$ 都可以尝试通过这种操作变为另一个对应的函数 $F(\omega)$，因此这是一个函数的函数，称之为（连续时间）傅里叶变换（Fourier Transform, FT）或傅氏变换，记为

\[\mathscr{F}[f(t)]=F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]

在函数变换中，称 $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 的象函数，称 $f(t)$ 是 $F(\omega)$ 的象原函数。与傅里叶级数类似，称 $| F(\omega)| $ 为 $f(t)$ 的振幅谱，$\arg F(\omega)$ 为 $f(t)$ 的相位谱。

得到频谱函数后，自然可以把它逆变换回去，即

\[f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\]

称该变换为傅里叶逆变换，记为

\[\mathscr F^{-1}[F(\omega)]=f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\]

广义傅里叶变换

如果 $f(t)$ 是周期函数，它能完整地用傅里叶级数表示，但它反而求不出傅里叶变换。因为它的分量是离散分布的，求不出分布密度。

例如周期函数 $f(t)=e^{it}+2e^{2it}$，它的离散频谱为 $\begin{cases} c_1=1\ c_2=2\ c_n=0&n\ne1,2\ \end{cases}$。我们试着求它的傅里叶变换：

\[\mathscr F[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}(e^{it}+2e^{2it})e^{-i\omega t}dt\] \[=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i(1-\omega)t}dt+\int_{-\infty}^{+\infty}2e^{i(2-\omega)t}dt\]

这里产生了两个问题：

①在 $\omega\ne0$ 时，广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}dt$ 震荡不收敛。

这个问题比较好解决。规定它的值为 $\lim_{T\to+\infty}\int_{-T/2}^{T/2}e^{i\omega t}dt=0$，即可与傅里叶级数相容。

②在 $\omega =0$ 时，广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}dt$ 发散到正无穷大。

如果我们仅仅是简单地在 $F(\omega)$ 上挖去这些无穷大的点，那么我们会无法区分 $f(t)=e^{it}+2e^{2it}$ 中，分量 $e^{it}$ 和 $2e^{2it}$ 的系数。如果没有这些系数，我们将无法进行逆变换，无法通过 $F(\omega)$ 还原出 $f(t)$ 的原貌。

为了解决上述问题，我们引入了单位冲激函数，又称狄拉克 $\delta$ 函数。这是一个广义函数，并不能由通常的数集映射来定义，必须依赖于积分。广义函数在泛函分析中有详细讨论，这里只简单介绍一下它的直观定义：

①对于任意 $x\ne0$ 满足 $\delta(x)=0$；

②满足积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1$。

显然，$\delta$ 函数并不能简单地记为 $\delta(x)=\begin{cases} +\infty,&x=0\ 0,&x\ne0\ \end{cases}$，因为这并不能体现性质②，也就无法体现 $\delta(x)$ 与 $2\delta(x)$ 的区别。$\delta$ 函数有许多直观的近似方法。

通常，在画函数图像时，冲激函数用一箭头表示，并标上它的冲激强度。$A\delta(x)$ 在 $x=0$ 的冲激强度就是 $A$。

$\delta$ 函数并不是真实存在的函数，它最初是用来描述物理中的理想模型的，例如质点、点电荷这种没有尺度的模型。关于它们的很多函数只会在图像上有一瞬间的脉冲，用 $\delta$ 函数就能很好地描述。

以下给出 $\delta$ 函数的一些性质：

①筛选性质：$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)f(x)dx=f(x_0)$；

②是偶函数，即 $\delta(x)=\delta(-x)$；

③放缩/相似性：$\delta(a x)=\frac1{| a| }\delta(x)$；

④是单位阶跃函数 $u(x)=\begin{cases} 0,&x<0\ 1,&x>0\ \end{cases}$ 的导函数。

利用 $\delta$ 函数，我们就可以把傅里叶级数中的离散频谱数列也表示成傅里叶变换得到的连续频谱函数。涉及到 $\delta$ 函数的傅里叶变换，被称为广义傅里叶变换，它能对周期函数进行傅里叶变换。

首先，我们对 $\delta$ 函数进行傅氏变换，得到

\[\mathscr F[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-i\omega t}dt=\left.e^{-i\omega t}\right|_{t=0}=1\]

也就是说，$\delta(t)$ 均匀地含有各种频率分量且系数相等，称此为均匀频谱或白色频谱。

那么常数1的傅里叶逆变换应得到 $\delta(t)$，即

\[\mathscr F^{-1}[1]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}d\omega=\delta(t)\]

得到了一个十分重要的公式：$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}d\omega=2\pi\delta(t)$。换元即可得到 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega t}dt=2\pi\delta(\omega)$，也就是说常数1的连续频谱为 $2\pi\delta(\omega)$。

傅里叶变换的性质

线性性

设 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega),\quad \mathscr F[g(t)]=G(\omega)$，$\alpha,\beta$ 为常数，则

\(\mathscr F[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)\) \(\mathscr F^{-1}[\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)]=\alpha f(t)+\beta g(t)\)

傅里叶变换的本质，就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

位移性

设 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega)$，$t_0,\omega_0$ 为常数，则

\(\mathscr F[f(t-t_0)]=e^{-i\omega t_0}F(\omega)\) \(\mathscr F^{-1}[F(\omega-\omega_0)]=e^{i\omega_0 t}f(t)\)

把时域的函数向右平移了 $t_0$，相当于时间起点改到了 $-t_0$，那么频域的相位也要相应地退回。分量 $e^{i\omega t}$ 在时刻 $-t_0$ 的值 $e^{-i\omega t_0}$ 的值作为起点，因此 $F(\omega)$ 乘上了该量。

把频域的函数向右平移了 $\omega_0$，相当于把每个分量 $e^{i\omega t}$ 相应都改为了 $e^{i(\omega-\omega_0)t}$，频率都由 $\omega$ 减慢到 $\omega-\omega_0$，那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量 $e^{i(\omega-\omega_0)t}$ 补乘上 $e^{i\omega_0t}$，就能还原回原来的频率，因此 $f(t)$ 乘上了该量。

放缩/相似性

设 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega)$，$a$ 为非零常实数，则

\[\mathscr F[f(at)]=\frac1{|a|}F\left(\frac\omega a\right)\]

取 $f(t)=e^{it}+2e^{2it}$，那么 $F(\omega)=2\pi(\delta(\omega-1)+2\delta(\omega-2))$。取 $a=2$，则 $f(at)=e^{2it}+2e^{4it}$，显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化，让 $\omega$ 除以2，但同时分量的系数也成比例变了。

因为 $F(\omega)$ 的值表示的是分量 $e^{i\omega t}$ 的密度，即该分量的系数是 $\frac{\Delta\omega}{2\pi}F(\omega)$，那么 $\omega$ 除以 $a$ 会让分量 $e^{i\omega t}$ 变为 $e^{ia\omega t}$ 的同时，其系数也变为了 $a$ 倍。因此，最终 $F\left(\frac\omega a\right)$ 要再除以 $| a| $ 以还原系数。

对于上述例子，利用 $\delta$ 函数的放缩性，易得

\[\frac12F\left(\frac\omega2\right)=\pi\left(\delta\left(\frac\omega2-1\right)+2\delta\left(\frac\omega2-2\right)\right)\] \[=\pi\left(\delta\left(\frac{\omega-2}2\right)+2\delta\left(\frac{\omega-4}2\right)\right)\] \[=2\pi(\delta(\omega-2)+2\delta(\omega-4))\]

对称性

设 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega)$，则

\[\mathscr F[F(t)]=2\pi f(-\omega)\]

对圆周运动的典型分量 $e^{it}$ 做两次变换观察一下。

首先对 $e^{it}$ 进行各种频率的反向旋转，$\omega\ne1$ 时平均为0，$\omega=1$ 时叠加出无穷大，得到 $2\pi\delta(\omega-1)$，这是第一次变换。再对 $2\pi\delta(t-1)$ 做第二次变换，变换的结果是把每个频率的起点都改为 $2\pi e^{-i\omega}$，最终 $t\ne1$ 时平均为0，$t=1$ 时叠加出无穷大，正好时域上构成一冲激强度为 $2\pi$ 的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周，时域脉冲对应频域圆周，这构成了对称性。

实际上，函数 $f(t)$ 既可以用一系列圆周函数 $e^{i\omega t}$ 线性表示为 $f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$，又可以用一系列冲激函数 $\delta(x-t)$ 线性表示为 $f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-t)dx$，这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周 $\times2\pi$ 变为脉冲，脉冲翻转后变为圆周，因此具有 $\mathscr F[F(t)]=2\pi f(-\omega)$ 的关系。

微分关系

设 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega)$，只要相关的导数存在，则

\(\mathscr F\left[\frac{d^nf(t)}{dt^n}\right]=(i\omega)^nF(\omega)\) \(\mathscr F^{-1}\left[\frac{d^nF(\omega)}{d\omega^n}\right]=(-it)^nf(t)\)

对于复值函数 $f(t)$，$f’(t)$ 的含义是复值速度，其中实部表示沿实轴方向的速度，虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对 $e^{i\omega t}$ 求导会让起点逆时针旋转 $90^\circ$ 并伸缩至 $\omega$ 倍，但不改变频率。

根据求导公式也容易直接写出 $e^{i\omega t}$ 对t的n阶导数是 $(i\omega)^ne^{i\omega t}$。

因此 $f(t)$ 对t求n阶导时，频谱只需要简单地把每个分量 $e^{i\omega t}$ 乘上 $(i\omega)^n$，即 $F(\omega)$ 乘上 $(i\omega)^n$。

对 $F(\omega)$ 求导时，考虑将 $f(t)$ 分解为冲激函数，且时域的 $\delta(t-x)$ 分量对应频域的 $e^{-i\omega x}$ 分量。$e^{-i\omega x}$ 对 $\omega$ 求n阶导数得到 $(-ix)^ne^{-i\omega x}$，那么 $f(t)$ 的每个分量 $\delta(t-x)$ 也只需要简单地乘上 $(-ix)^n$ 即可。$(-ix)^n\delta(t-x)$ 只会在 $x=t$ 时影响到整体的值，故求和之后得到的是 $(-it)^nf(t)$。

积分关系

设 $g’(t)=f(t),\quad \mathscr F[f(t)]=F(\omega)$，则

\[\mathscr F[g(t)]=\frac1{i\omega}F(\omega)\]

这与微分关系是一致的，取 $n=-1$ 即可。

由于 $g(t)=\int f(t)dt+C$，这个任意常数 $+C$ 会在频谱中带来一个冲激函数 $2\pi C\delta(\omega)$，而 $\omega=0$ 时 $\frac1{i\omega}F(\omega)$ 无意义，因此这个公式不考虑 $\omega=0$ 的情况。

帕萨瓦尔（Parseval）定理

设 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega),\quad \mathscr F[g(t)]=G(\omega)$，则

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\overline{g(t)}dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\overline{G(\omega)}d\omega\]

这个定理充分体现了 $e^{i\omega t}$ 这些基底在 $\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}u(t)\overline{v(t)}dt$ 内积下的正交性。$f(t)$ 中的一个分量 $e^{i\omega_1t}$ 分别乘以 $\overline{g(t)}$ 中的每一个分量 $\overline{e^{i\omega t}}$ 并对 $t$ 做积分，在 $\omega_1\ne\omega$ 时积分结果为0，在 $\omega_1=\omega$ 时积分结果为1。也就是说，两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。

$f(t)$ 中分量 $e^{i\omega t}$ 的系数近似为 $\frac{\Delta \omega}{2\pi}F(\omega)$，同理 $\overline{g(t)}$ 中 $e^{i\omega t}$ 的系数近似为 $\frac{\Delta\omega}{2\pi}\overline{G(\omega)}$，那么两者乘积的 $e^{i\omega t}$ 的系数即可近似为 $\left(\frac{\Delta\omega}{2\pi}\right)^2F(\omega)\overline{G(\omega)}$。

因为 $\int_{-T/2}^{T/2}ce^{i\omega t}dt$ 算的是 $Tc$，那么 $\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\overline{g(t)}dt$ 中 $e^{i\omega t}$ 分量算出的是 $\frac{2\pi}{\Delta \omega}\left(\frac{\Delta\omega}{2\pi}\right)^2F(\omega)\overline{G(\omega)}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}F(\omega)\overline{G(\omega)}$，最后把所有 $\omega$ 求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。

特别地，若取 $f(t)=g(t)$，则可得到

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega\]

卷积与卷积定理

卷积

冲激函数的筛选性质 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(t-x)dx=f(t)$ 非常重要，我们称这个运算是 $f(t)$ 与 $\delta(t)$ 的卷积。一般地，定义 $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 的卷积（convolution）为

\[f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\]

视第二个函数为冲激函数的线性组合，即 $f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_2(x)\delta(t-x)dx$，那么它的 $\delta(t-x)$ 分量的系数可近似为 $f_2(x)\Delta x$，而 $f_1(t)$ 与 $\delta(t-x)$ 卷积得到 $f_1(t-x)$，相当于把 $f_1(t)$ 向右平移了 $x$ 个单位。因此，卷积的含义是：$f_1(t)$ 的起点平移到 $t=x$ 处，就把函数值放缩为原来的 $f_2(x)\Delta x$ 倍。对于任意的 $x$，把所有这些平移且放缩过的 $f_1$ 函数叠加的结果。

概括来说，卷积就是 $f_1$ 的滑动加权和，权重由 $f_2$ 决定。

同时，如果只考虑 $f_1$ 的一个冲激函数分量，则在卷积中会生成一个滑动加权的 $f_2$，且由 $f_1$ 控制。也就是说，卷积具有交换律。

实际上，卷积还满足结合律和分配律，这里不再详述。

时域卷积定理

若 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega),\quad \mathscr F[g(t)]=G(\omega)$，则

\[\mathscr F[f(t)*g(t)]=F(\omega)G(\omega)\]

按照8.1节对卷积的理解，将 $g(t)$ 拆成各种 $\delta(t-x)$ 分量，且系数近似为 $g(x)\Delta x$。那么 $f(t)$ 对于一个分量的卷积，相当于平移后加权。根据第2节的位移性，易得频谱函数变为 $g(x)\Delta x\cdot e^{-i\omega x}F(\omega)$，对 $x$ 求和就得到了 $F(\omega)G(\omega)$。

频域卷积定理

若 $\mathscr F[f(t)]=F(\omega),\quad \mathscr F[g(t)]=G(\omega)$，则

\[\mathscr F[f(t)g(t)]=\frac1{2\pi}F(\omega)*G(\omega)\]

这里我们把 $G(\omega)$ 拆成各种 $\delta(\omega-x)$ 的分量，且系数近似为 $G(x)\Delta x$。那么 $F(\omega)$ 对于一个分量的卷积，也是平移后加权。根据第2节的位移性，易得时域函数变为 $G(x)\Delta x\cdot e^{i\omega x}f(t)$，对 $x$ 求和就得到了 $2\pi f(t)g(t)$。