四色定理的证明？

四色定理不成立可以推出，一定存在一个图，使得必有大于等于5块互不相同颜色，等价于可以有5个地区两两接壤的图存在（否则第五个地区的颜色就可以取和他不接壤的一个地区的颜色）。取逆否命题即得：如果5个地区两两接壤的图不存在，则四色定理成立。

接下来证明这个命题。显然若有其中有空白的图存在，那必然有其中没有空白的图存在。因此只考虑实心的图。注意到一个地图一定有唯一的一个轮廓（如果有多个轮廓，那必然至少有2个地区不相连）。那么接下来分类讨论：

1.如果只有一个国家独占整个轮廓 不妨设这个国家名字叫A，那么A就一定可以看作一个环形（如果里面还有环的话（即8字形），那一个环内和另一个环内的国家就不能相连了）。其他4个国家要和A有接壤，所以它们分别与A的内壁接触。这4个国家与A的接触只能有一段，不然就会在A里面形成一个柱子，把其他国家隔开。因此，它们一定位居环内的四方。此时对角线上的两个国家必须连起来，不然就没别的方法了，这样另两个对角线上的地区就被隔开了。

依此类推，分析2个、3个、4个、5个国家分摊整个轮廓的情况，发现都不可能。 因此证明了5个点两两相连的点图不存在。