数论小发现

Theorem 下面命题可推出迪利克雷定理：

对于任意$x,a$, $P=\prod_{p\le\sqrt {x+a}}p$, $S(x,a;P)\gt 0$

$\mathrm{P{\scriptsize ROOF } }$. $S(x-c,y;P)=S(x,y;P,a_p)$

考虑任意 $km + h$ 的等差数列，记为 $A$，$k = 1,2,\cdots$，$\gcd(m, h) = 1$。

Dirichlet 定理 $\iff A$ 中至少存在 $1$ 个素数

反证法：若存在 $A$ 其中无素数，截取其中 $a$ 个连续的数，记为 $B$，其中最大的数（即最后一个）记为 $x$，则 $B$ 中所有数都存在小于等于 $\sqrt{x}$ 的素因数。现在从 $B$ 中划去 $p$ 的倍数，若 $p$ 取所有 $\leq \sqrt{x}$ 的素数，则最后应当将 $B$ 中所有数都划完。

lemma 若 $\gcd(p, m) = 1$， 从 $B$ 中划去 $p$ 的倍数 $\Rightarrow$ 隔 $p$ 个数划掉一个；若 $\gcd(p, m) > 1$，$B$ 中无 $p$ 的倍数

因此，从 $B$ 中划去所有 $p \leq \sqrt{x}$ 的倍数 $\Rightarrow$ 对于 $\gcd(p, m) = 1$ 的素数，隔 $p$ 个数划掉一个，最后能将 $B$ 中所有数划完，矛盾。$\Box$

验证工具

验证特定a值是否存在满足条件的删除组合

验证 a 的值

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算法将检查所有可能的删除组合

问题说明

给定a个数，按以下规则删除：

1. 删除模2的某个剩余类（如所有奇数或所有偶数）
2. 删除模3的某个剩余类（如位置1,4,7...或2,5,8...等）
3. 依此类推，对每个不超过 $\sqrt a$ 的素数p，删除模p的某个剩余类

目标是找到一个a，使得按上述规则操作后，所有数都被删除。