早先的一次数学证明尝试

2022年6月1号，去年的六一儿童节，正好也是疫情期间，呆在家里没什么作业，就开始想数学。想到费马大定理，忽然有了个灵感——如果把指数和底数互换会怎么样？如果把左边的项增多会怎么样？

晚上做核酸排队的时候，我考虑了一个特殊情况：

先想到这个式子，然后想到了他的特殊解1+(n-1)n⁰+(n-1)n¹+…+(n-1)nʸ⁻¹=nʸ,就猜想这个式子的所有解都满足(K-1)÷(N-1)余0。

（摘自2022.6.30跟数学老师的对话记录）

然后做出了这个猜想：

若方程 $n^{x_0}+n^{x_1}+\cdots+n^{x_k}=n^y$ 中，$n,x,y$ 有自然数解时，$(n-1) |k.$

（改进了一下当时的表述）

当时我的证法很繁琐。这是一个更简单优雅的证明：

$n^{x_{0}}+n^{x_{1}}+\cdots+n^{x_{k}}=n^{y}$，两边都对 $n-1$ 取模，得到：

\[n^{x_{0}} \bmod (n-1) + n^{x_{1}} \bmod (n-1) + \cdots + n^{x_{k}} \bmod (n-1) = n^{y} \bmod (n-1)\]

由于 $n \equiv 1 \pmod{n-1}$，所以 $n^{a} \equiv 1^{a} = 1 \pmod{n-1}$，对于任意的 $a$。因此，上面的等式可以简化为 $k+1 \equiv 1\bmod (n-1)$ ，即 $(n-1) |k$ 。证毕。