群友提出的问题

一个群友今天问：形如({3,2},{5,1})这组，满足ab=c+d，a+b=cd的数有无穷组吗？

我想了想后回答：如果都是正整数的话，只有有限组；如果不限范围的话，可以构造a=cd,b=0,c=-d的例子。具体证明如下：

不妨设 $a$ 是最大的，可以并列
反证法，若有无限组，则 $a \rightarrow \infty$ 的解存在
令 $a=2 m$ ,
$1^{\circ} \quad m \leqslant b \leqslant 2 m$
$\therefore a b \geqslant 2 m^{2}, a b \leqslant 4 m^{2}$
不妨设 $c>d$ .
则 $m^{2} \leqslant c \leqslant 4 m^{2}$
\(\begin{array}{l}\because a+b=c d\\ \therefore cd \leqslant 4 m \\ 又\because cd \geqslant m^{2} \\ \therefore m^{2} \leqslant 4 m \end{array}\)
令 $m \rightarrow \infty$ 矛盾 (m>4 即可矛盾)

$2^{\circ} \quad 1 \leqslant b<m$
$a b<2 m \cdot m=2 m^{2}$
不妨没 $c>d$ .
\(\begin{array}{l} \therefore c<m^{2}, d < m^{2}\\ \because a=2 m, 1 \leqslant b<m\\ \therefore 2 m+1 \leqslant a+b<3 m \\ \therefore a b>2 m \\ \because a b=c+d \\ \therefore c+d \geqslant 2 m \\ \therefore c d \geqslant 2 m-1 \\ \because a+b=c d \\ \therefore[2 m+1,3 m)=\left[2 m-1,m^{4}\right) \end{array}\)
现考察 $cd$ 最小取值
最小取值: $c=2 m-1,d=1, c d=2 m-1$
第二小取值: $c=2 m-2, d=2, cd=4 m-4$
令 $m \rightarrow \infty, 2 m+1 \ll 4 m-4$
可发现cd与$[2m+1,3m)$无交集，矛盾。

进一步地，当m>5/2时就矛盾了。综合上文，可知m<4，即最大数<8时才可能有解。用计算机遍历即可得所有解：

a=1,b=5,c=2,d=3或a=1,b=5,c=3,d=2或a=2,b=2,c=2,d=2或a=2,b=3,c=1,d=5或a=2,b=3,c=5,d=1或a=3,b=2,c=1,d=5或a=3,b=2,c=5,d=1或a=5 ,b=1,c=2,d=3或a=5,b=1,c=3,d=2