面积公理

我们常常发现，有一些命题不通过等面积法是做不出来的。比如勾股定理，相似三角形的定理。这是为什么呢？

我认为是因为等面积法基于一个独立于角、线段的公理。为什么这么说呢？因为如果没有这样一条公理，那么根据角和线就可以推得勾股定理和相似三角形，但目前来看是不行的。

我把它称为面积公理。在《几何原本》中，我找到公理4：彼此重合的东西，彼此相等。但这还不完全是我的面积公理。但古希腊语中的“等于”有全等和面积相等两重含义。我的公理表述如下：

1. S是连续的（这样说不是很严谨）
2. 若图形a和图形b没有重合，若称它们合并的图形为c，那么Sa+Sb=Sc
3. 全等三角形面积相等

进一步地，如果我们允许使用微分思想，那么公理1和2就都可以由公理3得到。因此，从严格意义上讲的面积公理应当只有公理3.

以下命题可以由它推出来：

• 平行四边形面积正比于底乘高。
• 正方形面积正比于边长的平方。
• 若底和高相同，平行四边形面积是三角形面积的2倍。
• 接着，按照《几何原本》中的证法，就可以证明边长为直角三角形三边的正方形的面积满足两个小的之和等于第三个。再根据正方形面积正比于边长的平方，可得勾股定理。
• 全等形面积相等。
• 三角形面积正比于底乘高。